Lecture 11-12 Geometry 2 (Curves and Surfaces)¶

Curves¶

Bézier Curves 贝塞尔曲线¶

使用一系列的控制点定义某个曲线，控制点定义曲线满足的一些性质
可以定义出唯一的曲线，从 $p_{0}$ 开始， $p_{3}$ 结束

de Casteljau Algorithm 绘制贝塞尔曲线¶

给定任意多个控制点，生成贝塞尔曲线

对于两条线段，三个点的情况

使用线性插值的方式插入一个点

在另一条边等比例的插入另外一个点

连接 $b_{0}^{1}$ 和 $b_{1}^{1}$ 得到 $b_{0}^{2}$

枚举 $[0, 1]$ 中所有的参数 $t$ ，连接所有得到的 $b_{0}^{2}$ ，就获得了生成的曲线

对于四条线段，三个点的情况，递归处理即可

Algebraic Formula¶

e.g. 三个点的贝塞尔曲线的例子

根据 $b_{0}^{1}$ 和 $b_{1}^{1}$ 得到 $b_{0}^{2}$ ，将其展开容易得到上式，容易发现是系数是 $(1 - t + t)^{2}$ 的形式，所以我们容易推理出贝塞尔曲线的一般代数表示

对于有 $n + 1$ 个点的贝塞尔曲线，在任意时间 $t$ ，它都是给定的控制点的线性组合

b^{n} (t) = b_{0}^{n} (t) = \sum_{j = 0}^{n} b_{j} B_{j}^{n} (t)

其中， $B_{j}^{n} (t)$ 是 Bernstein polynomial，描述为【就是描述 $(1 - t + t)^{n}$ 的各项系数是多少】

B_{i}^{n} (t) = (\begin{matrix} n \\ i \end{matrix}) t^{i} (1 - t)^{n - i}

Features¶

对贝塞尔曲线的控制点做仿射变换（线性变换+平移）相当于对贝塞尔曲线做仿射变换
- 投影是不满足此性质
贝塞尔曲线的凸包性质：画出的贝塞尔曲线一定在几个控制点形成的凸包内

Piecewise Bézier Curves 逐段的贝塞尔曲线¶

当控制点较多时，贝塞尔曲线的形状不好控制。在实际的情况中，使用多段贝塞尔曲线进行首尾相接得到新曲线（一般使用四个控制点的三次贝塞尔曲线），这种方法就叫做逐段的贝塞尔曲线

Continuity 贝塞尔曲线的连续性¶

$C^{0}$ continuity：第一段的终止点和第二段的起点相接
$C^{1}$ continuity：导数连续，控制点的左右两个控制点方向相反，距离控制点的距离相等 $a_{n} = b_{0} = \frac{1}{2} (a_{n - 1} + b_{1})$

Spline 样条曲线¶

一个可控的曲线

B-splines B样条¶

Short for basis splines 基函数（由不同函数组合成别的函数）样条
对贝塞尔曲线的扩展，当贝塞尔曲线的阶数高时，动一个点对周围的影响大，而 B 样条曲线具有局部性，更加容易控制

Surfaces¶

贝塞尔曲面¶

Evaluating Surface Position For Parameters $(u, v)$

Use de Casteljau to evaluate point $u$ on each of the 4 Bezier curves in u. This gives 4 control points for the “moving” Bezier curve
Use 1D de Casteljau to evaluate point v on the “moving” curve

Mesh Operations 曲面操作¶

Mesh Subdivision (upsampling)
Mesh Subdivision (upsampling)
- Decrease resolution
- try to preserve shape/appearance
Mesh Regularization (same #triangles)
- Modify sample distribution to improve quality

Mesh Subdivision 细分¶

Loop Subdivision¶

只适用于三角形面

引入更多的三角形
- 连接原本三角形的三条边的中点，形成新的顶点
让三角形的位置发生一些变化，让原来的物体变得更加光滑
- 对于新的顶点
- 下图中的白色顶点为生成的新的顶点且被两个原三角形共享，认为 $A, B$ 两点是距离白色点较近的两个点， $C, D$ 两点是距离白色点较远的两个点，实质是一种加权平均，使得新出现的白点可以达到平滑的效果
- Loop Subdivision 算法将白色顶点的坐标调整为
$\frac{3}{8} (A + B) + \frac{1}{8} (C + D)$

- 对于旧的顶点（虚线表示拆出的新三角形，老的顶点是中间的**白色**点）

- Loop Subdivision 算法使得调整后的新顶点，一部分相信老的顶点的平均值，一部分受新的顶点的影响

- 定义 $n$ 为白色顶点的度，下图中 $n=6$

- 定义 $u$ 为与 $n$ 有关系的一个数。当 $n=3$ 时，$u=\frac{3}{16}$，当 $n\ne 3$ 时，$u = \frac{3}{8n}$

- Loop Subdivision 算法将白色顶点的坐标调整为 （可以这么理解，如果一个顶点连了很多三角形，说明这个顶点可以由别人来决定，如果一个顶点连接的三角形数目很少，说明这个顶点自身比较重要，要更多的相信自己的信息）


$$
(1-un)\times \text{original-position} + u\times\text{neighbor-position-sum}
$$

Catmull-Clark Subdivision (General Mesh)¶

适用于一般的情况，网格不是三角形网格
非四边形面 (Non-quad face)：不是四边形的面
奇异点/异顶点 (Extraordinary vertex)：度不为 $4$ 的顶点

细分步骤

对所有的边和面取中点
将取出的中点连起来

在一次细分之后，所有的非四边形面都消失了，每一个非四边形面都转化成了一个奇异点，之后奇异点的数目不会在增加了

调整步骤：将点区分成三类，分别更新他们的坐标

在一个面中心的新的点，设其为 $f$

f = \frac{v_{1} + v_{2} + v_{3} + v_{4}}{4}

在边中心的新的点，设其为 $e$

e = \frac{v_{1} + v_{2} + f_{1} + f_{2}}{4}

老的点，设其为 $v$ ，定义 $p$ 为老的点， $m$ 为边的中点

v = \frac{f_{1} + f_{2} + f_{3} + f_{4} + 2 (m_{1} + m_{2} + m_{3} + m_{4}) + 4 p}{16}

Mesh Simplification¶

Edge Collapse 边坍缩¶

找到一条边，把连接这两条边的顶点变成一个顶点（捏起来）
使用 Quadric Error Metrics（二次误差度量）来确定坍缩的边
Quadric error: new vertex should minimize its sum of square distance (L2 distance) to previously related triangle planes
- 找到一个最优的位置，使得这个点到它原本的面的距离平方和最小
选择最优的边：优先队列
- 选取二次度量误差最小的边
- 合并这个边
- 更新所有受这个边影响的边